第 167 章 方程根的个数之探秘
数日匆匆而过，学府内的书香依旧弥漫。戴浩文再次踏上那熟悉的讲台，新的知识篇章即将在学子们的期待中缓缓展开。
“诸位学子，前番我们在数列的世界中探寻智慧，今时今日，吾将引领尔等步入方程根的个数这一神秘领域。”戴浩文声音朗朗，目光扫过一众学子。
众学子正襟危坐，眼神中满是对新知识的渴求和好奇。
戴浩文轻挥衣袖，于黑板之上写下一道方程：“x2 - 5x + 6 = 0。”
“吾等先观此简单之例，求解方程之根，诸位当如何为之？”戴浩文问道。
有学子起身答道：“先生，可用因式分解之法，化为 (x - 2)(x - 3) = 0，得根为 2 与 3。”
戴浩文微微颔首：“善。然今所论者，非仅求其根，而在探究此类方程根之个数。”
他继而说道：“若方程为二次方程 ax2 + bx + c = 0，其判别式 Δ = b2 - 4ac 便为关键。当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不同之实根；当 Δ = 0 时，方程有两个相同之实根；当 Δ ＜ 0 时，方程无实根。”
众学子听闻，纷纷低头记录。
戴浩文又举例道：“如方程 x2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1，Δ = 22 - 4×1×1 = 0，故而此方程有两个相同实根，即为 -1。”
为使学子们更明其理，戴浩文令学子们各自出题，相互求解判别式并判断根的个数。一时间，课堂内讨论之声四起，学子们或蹙眉思索，或欣然交流。
待众人稍有领悟，戴浩文话锋一转：“二次方程之理，诸位已略知一二。然方程之形多样，诸如三次方程、四次方程，乃至更高次方程，又当如何探究其根之个数？”
众学子面面相觑，皆感困惑。
戴浩文微笑道：“莫急。吾先以三次方程为例。”他在黑板上写下方程：“x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0。”
“求解此类方程，需综合运用因式分解、试根等法。吾先试 x = 1，代入方程，发现等式成立，故 x - 1 为其一个因式。”戴浩文边说边演示。
经过一番推演，方程化为 (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0，“由此可知，此方程有三个实根，分别为 1，2，3。”
“至于更高次方程，其解法更为复杂，常需借助函数之图像，以观其走势，判断根之个数。”戴浩文继续讲解。
他画出函数 y = x3 - 6x2 + 11x - 6 的图像，“观此图像与 x 轴之交点，便知方程根之个数。”
学子们盯着图像，似有所悟。
戴浩文又道：“亦有一类方程，难以直接求解，如超越方程。例如，e^x - 2x - 1 = 0。”
他解释道：“此类方程，吾等可通过函数单调性、极值等性质来推断根之个数。先求其导数，判断函数增减区间，再观其极值。”
戴浩文详细地推导着，学子们跟随着他的思路，努力理解着其中的奥妙。
时光悄然流逝，已至正午，阳光透过窗棂洒入教室，但学子们浑然未觉，沉浸于知识的海洋。
“今日所学，颇为深奥，诸位需在课后多加琢磨。”戴浩文说道。
下午课程伊始，戴浩文继续深入探讨方程根的个数问题。
他在黑板上写下一道含参数的方程：“x2 + mx + 1 = 0。”
“若此方程有实数根，求参数 m 之取值范围。”戴浩文抛出问题。
学子们纷纷动笔演算。戴浩文则在台下巡视，观察学子们的解题思路。
少顷，戴浩文走上讲台，开始讲解：“由判别式 Δ = m2 - 4，若方程有实根，则 Δ ≥ 0，即 m2 - 4 ≥ 0，解得 m ≥ 2 或 m ≤ -2。”
接着，他又给出几道类似的含参数方程，让学子们巩固所学。
“再看这道方程，”戴浩文又写下：“x3 - 3x + k = 0，已知其有且仅有一个实根，求 k 的取值范围。”
学子们再次陷入沉思。戴浩文提示道：“可先求导，分析函数单调性。”
经过一番思考和讨论，学子们逐渐找到了解题的关键。
戴浩文见众人有所领悟，心中甚喜，又道：“方程根之个数问题，亦与函数之零点定理相关。若函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续，且 f(a) 与 f(b) 异号，则在区间 (a, b) 内至少存在一个零点，即方程 f(x) = 0 在区间 (a, b) 内至少有一个实根。”
为让学子们更好地理解，戴浩文举例画图，详细阐述。
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