设Lκ，λ是无限语言(λ ＜ κ)，允许形成:
1.长度＜κ的合取和析取
2.＜λ个变量的量化
无限逻辑比一阶逻辑有更强的表达能力。使用这样的逻辑之一将确保满足约束1:“V的宽度延伸”的表示将排除“不想要的”解释。
v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了:
1.＜κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数＞ω
2.＜ω量词
3. 一个特殊的常数V，表示地面宇宙
4.一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型
5.长度小于κ+的无限合取和析取
我们知道证明可以用集合来编码。在V-逻辑中，证明是由Hyp(V)中的集合编码的，这是V之后最不允许的集合。
M上的容许集是KPU的模型AM，其形式为
AM =(M；一，∈，...).M上的纯容许集是容许集，M没有u元素(A集合A s.t. KP |= A)。
M上的最小容许集(记为HypM)是M上所有容许集的交集(并且等价于可构造论域的第α级Lα，其中α是M上最小容许序数)。
因此，在V-逻辑中，Hyp(V)(以下简称V +)只是一些Lα(V)。
V -logic中的证明代码在V +中。
现在，假设我们想要断言存在一个‘宇宙’W，一个V的宽度延伸。
我们从句法上进行:这样一个世界的存在等价于以下一致性陈述的证明:
Con(T + ?)
其中t是我们的基础理论(BST)，?= w的w性质。
|= ψ”，而ψ是一些对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个? = Con(T + ψ)的证明码。
属性ψ可以这样选择，以便表达所讨论的模型的某些相关特征。
(例如，对于W是基论域的集泛扩张，我们可以将W刻画为‘包含V上的P-泛滤子G并满足ψ’)。
对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个? = Con(T + ψ)的证明码。
特别是，我们可能有:
集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G超过V并满足ψ’)
1.类通用扩展(如上，有一些修改)
2.超类-泛型扩展(同上)
3.V的各种强制扩张
4.1中定义的所有模型的内部模型。-4
通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。
因此，约束2也将被满足:所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。
在v-逻辑中，我们有:如果BST + ?(其中BST是我们的基础理论)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。
非正式地说，多元宇宙可以被视为一棵树:在树根处，我们选择了BST，在每个节点处，一个Con(BST + ?)陈述，其中?断言ψ是一些集合论真理的进一步片段
提醒一句:在这个阶段，我们并没有假设W真的“存在”；只知道它可以用V +中的理论T来处理
假设γv?和γv(?→ψ)则γvψ。
推广如果γv(?→ψ(vn))和VN在?有界γv(?→?vnψ(vn)).
v法则如果γv ?(m/v0)对于每一个m ∈ V那么γv ?v0(m(v0)→?(v0)).
请注意，在符号V ?中，如果γv?表示T = ?.，则句子可由v法则证明
就约束3而言，我们有以下内容:
给定任意无限语言Lκ，λ，其中λ ＜ κ，且κ ≥ ω1，对于所有句子σ，∈∈lκ，λ，使得∈σ，如果∏为任意长度，则|= σ不隐含▎σ
V-逻辑的不完全性是一个特例。
我们有以下内容:
1.如果v是不可数的，那么有γ，?使得γ| = v?aγv ?.
2.如果v在我们的v-逻辑多元宇宙理论t中是不可数的，那么就没有“真正的”外部模型w . s . t . v .?w，也就是说，没有断言其存在的v-逻辑理论的v-逻辑语义对应物。
3.因此，如果V是不可数的，约束3不满足，约束2仅在语法上完全满足:我们只能通过断言它们存在的理论来表示V的扩展。
4.如果v在我们的v-逻辑多元宇宙理论t中是不可数的，那么就没有“真正的”外部模型w . s . t . v .?w，也就是说，没有断言其存在的v-逻辑理论的v-逻辑语义对应物。
因此，如果V是不可数的，约束3不满足，约束2仅在语法上完全满足:我们只能通过断言它们存在的理论来表示V的扩展。
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