“所以，任意五个点，必然有至少三个点是共线的！
既然有三点共线，那它们在我们的图G里，就必然不是一个K5子图！
因为共线的点之间没有边！”
“结论：我们的图G，无K5子图！”
当她得出这个结论时，一种前所未有的，巨大而纯粹的成就感，淹没了她。
这比她过去解出任何一道难题，都要快乐！
因为这不是她一个人的胜利，这是她和许燃，两个人思想碰撞、共同铸剑的结果！
她抬起头，看向身边那个平静的少年，美眸中，水光流转，异彩涟涟。
“下一个，证明它的独立数，不大于42……”
许燃的声音没有停歇，将她从那异样的情绪中拉了回来，带入了下一个更深邃的挑战。
“这个图，只有31个顶点，独立数怎么可能大于42？”
简瑶下意识地问，随即反应过来，“哦，你说的是拉姆齐数R(5，5)！
我们现在构造出的这个图，它甚至连R(4，5)的反例都算不上！”
她的思维，已经被许燃彻底带到了一个全新的高度。
许燃摇了摇头。
“这个模型，只是一个玩具。
一个让我们理解‘代数图论’思想的玩具。”
“但这个思想，可以推广。”
他的笔尖，在PG(2，q)的那个q上，重重一点。
“如果，我们把这个q，换成别的数字呢？
比如，q=41？
一个素数？”
“PG(2，41)……它的点数是412+41+1 = 1723个！”简瑶倒吸一口凉气。
“没错，所以简单的射影平面不够。”
许燃的目光，变得如同黑洞般深邃，“我们需要更复杂的代数结构。
比如，用‘二次剩余’去定义‘相邻’关系。”
他开始在草稿纸上，写下一连串简瑶闻所未闻的概念。
【佩利图P(q)】
“这又是什么？”
简瑶感觉自己像个好奇宝宝，完全被许燃牵着鼻子走，但她心甘情愿。
“一个更纯粹的代数怪物。”
许燃的眼睛里闪着光。
“它的构造更简单粗暴。取一个素数q，并且要求q模4余1。”
“图的顶点，就是有限域GF(q)里的q个元素，从0到q-1。”
“两个顶点x和y之间有没有边，只看一件事。”
他顿了顿，用红笔重重写下两个字。
“‘差值’。”
“如果x-y是GF(q)里的‘二次剩余’，那么它们之间就有边。
如果不是，就没有。”
“二次剩余？”
这个词简瑶知道，就是指一个数在模q的意义下，能被写成另一个数的平方。
比如在模5的意义下，1和4就是二次剩余，因为1=12=42，4=22=32。
“对。”
许燃点头，“比如，我们直接攻击R(5，5)的下界，构造一个41阶的图。
取q=41，因为它是一个素数，且41=4*10+1。”
“我们构造佩利图P(41)。”
“它的顶点，就是0， 1， 2，...， 40。”
“顶点2和顶点5之间有没有边？”许燃看向简瑶。
“5-2=3，我们需要判断3是不是模41的二次剩余……”简瑶迅速心算，却发现这并不容易。
“很难算，对吧？”
许燃笑了笑，“但数学的美妙在于，我们不需要一个一个去算。
高斯早就为我们铺好了路。”
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