2. 发展“几何极限分解”技术： 他巧妙地结合了Cheeger-Gromov收敛定理（针对流形本身）和Uhlenbeck极限定理（针对联络），并对其进行了强化。他证明，在能量集中的序列中，不仅可以提取出主流的“爆破”部分（一个定义在某个爆破流形上的光滑联络），还可以系统性地提取出一系列嵌套的、定义在更小尺度（可能是点、线或面）上的“次级奇异结构”，这些次级结构携带了关键的拓扑信息，并决定了边界点在分层紧化中所处的“层（stratum）”。
3. 建立“奇异上同调”与“边界对应”字典： 他精确地建立了模空间紧化后的边界奇点的几何/拓扑类型（由上述能量标度和极限分解所分类）与原始流形本身的上同调环的某种派生（derived） 结构之间的对应关系。具体来说，他证明紧化模空间的有理上同调环，可以通过原始流形的上同调环与一个由所有可能的“奇异结构类型”生成的微分分次代数（differential graded algebra, DGA）进行Tor-张量积运算来得到。这给出了计算模空间拓扑的一个全新且具体的公式。
这无疑是一个融合了硬分析（估计）、精细几何（收敛理论）和抽象拓扑（DGA，上同调）的宏大工程。
研究过程再次充满了挑战。
张诚首先需要严格定义他提出的“加权能量标度”和相应的阈值。这需要他对杨-米尔斯方程在三维的小尺度正则性有极其深刻的理解，并推导出一系列新的、关于能量密度在Sobolev范数下的局部估计。他花了大量时间与各种烦人的epsilon和delta打交道，确保他的阈值定义是内在的、与坐标选取无关的，并且能够有效地区分不同的能量集中模式。
同时，他开始构建“几何极限分解”的框架。这需要他同时处理流形几何的极限和联络的极限，并理解它们之间的耦合关系。他遇到了一个棘手的问题：当多个不同尺度的能量集中同时发生时，如何确定它们出现的“顺序”和“层次”？这直接关系到分层紧化的结构定义。他引入了类似于吹胀（blow-up） 和降维（dimension reduction） 的几何操作，在极限过程中系统地剥离不同尺度的几何信息。
在尝试分类边界点时，他遇到了一种特别讨厌的情形：能量集中发生在流形的一个奇异子集（例如，一个结点或一个自交的曲面）附近。这时，流形本身的几何奇点和联络的奇点耦合在一起，使得传统的极限分析工具几乎失效。他最初尝试的几种分解方案都在这种“耦合奇点”面前败下阵来，得到的极限对象要么定义不清，要么丢失了关键的拓扑信息。
这让他再次停滞不前。三维流形的复杂性远超四维，奇点类型也更加多样。他感觉自己仿佛在解剖一个结构极其精密的器官，稍有不慎就会破坏其内在的联系。
在苦思冥想中，张诚的三级数学视野再次引导他走向一个意想不到的工具库——非交换几何（Nonmutative Geometry）。尤其是Alain Connes等人发展的关于谱三重（spectral triple）和循环上同调（cyclic cohomology） 的理论。
他意识到，杨-米尔斯联络的模空间本身可以看作一个（可能是奇异的）“非交换空间”。而“耦合奇点”的问题，或许可以通过暂时“忘记”流形的交换几何结构，转而考虑其上的Dirac算子（与联络耦合后）的谱性质来绕过！在非交换几何的框架下，奇点可以被解释为某种度量空间在Gromov-Hausdorff距离下的极限，而其上的“函数代数”（即非交换空间本身）则通过其谱测度来定义。
这个视角的转换至关重要。他不再试图强行将流形奇点和联络奇点分离开，而是将它们视为一个整体的、可能具有非交换性的几何对象来处理。他定义了一个新的、基于带联络的Dirac算子的剩余陈类（residual Chern character） 的拓扑不变量，这个不变量即使在耦合奇点的情况下也有良好的定义，并且能够精确地捕捉到边界点所携带的拓扑信息。
接下来，又是无比繁重的技术工作：将他之前发展的“几何极限分解”与这个新的非交换不变量结合起来，重新定义分层紧化的边界结构，并证明其良好定义；建立这个新的不变量与经典（交换）几何中拓扑不变量（如陈-韦伊形式）在光滑部分的兼容性；最终，推导出那个关键的、关于紧化模空间上同调环的Tor-张量积公式。
这个过程再次消耗了大量的精神和草稿纸。张诚几乎是不眠不休，完全沉浸在分析、几何与代数的复杂舞蹈之中。
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